[剑指Offer]孩子们的游戏（圆圈中最后剩下的数字）

题目描述

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0…m-1报数….这样下去….直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)

解题思路

该题是著名的约瑟夫环问题，有两种解法。

• 方法一：使用队列模拟游戏规则，与队列的应用—击鼓传花大逃杀相同；
• 方法二：分析数字规律，具体思路见《剑指Offer》，讲的很清晰。最后的递推公式为： $$f(n,m)=\left\{\begin{aligned} 0 &, n=1 \\ [f(n-1,m)+m]\%n &, n>1 \end{aligned} \right.$$ 其中，$f$即为最终剩下的数字，可利用循环写出复杂度极低的解法。

代码

Python(2.7.3)

方法一

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def LastRemaining_Solution(self, n, m):
        # write code here
        if n < 1:
            return -1
        queue = []
        for i in range(n):
            queue.append(i)
        while len(queue) > 1:
            for _ in range(m - 1):
                queue.append(queue.pop(0))
            queue.pop(0)
        return queue[0]

运行时间：1893ms
占用内存：5856k

方法二

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def LastRemaining_Solution(self, n, m):
        # write code here
        if n < 1:
            return -1
        last = 0
        for i in range(2, n + 1):
            last = (last + m) % i
        return last

运行时间：31ms
占用内存：5860k